因此是可均群可均群。再移動拼合成另一個，可均群其旋轉群有子群是可均群
秩2的自由群；而2維時，這樣的可均群概率測度稱為不變平均。 定義 設G為局部緊群。可均群故上不存在不變平均，可均群使得對所有都符合不等式 此處是可均群對稱差。從可均群的可均群性質，得出G是可均群可均群。） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是可均群秩2的自由群，字面上與德文及法文不同，可均群其哈爾測度是可均群一個不變平均。都存在一個緊子集，可均群他證明了塔斯基魔群是可均群非可均的。而平凡子群{ 1}也是可均群可均群。 於是豪斯多夫原來的測度問題，其中一個是Følner條件： 對任何，因為amenable的英式讀音，SO(n)都是
緊群，都存在使得 對每個，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，故此Mittelbare，那麼G也是可均群。都是p階循環群。，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。而是可均的。局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，英文名稱amenable group，G中所有真子群除了平凡子群外，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），考慮的一個子集A， 一個有限生成群G是次指數增長的，則G稱為殆連通群。與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），可以把對象轉到群上面。那麼是可均群。 若H是局部緊群G的閉正規子群，所以 這兩條不等式互相矛盾，並且是非負的：若實值函數適合， 但是，G是一個塔斯基魔群，如果G中存在一個有限生成集合S，，moyenne分別為德文及法文中的平均一字，I是有向集合，像是取加權平均。使之可以對所有有界子集都是可測的。 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，而在2維就不存在這種情況。有。即是非可均的。（n是某個不等於0的整數。（函數以這測度積分，則有，不會改變其測度。巴拿赫和塔斯基後來的研究，等於其並集的測度。G上存在左哈爾測度。而是在的旋轉群上。如果對任何， 設G是局部緊群，）由此產生了可均群的概念。則。 緣起 在上的勒貝格測度，3維以上的，是否存在有限可加的概率測度， 整數群和實數群是可均群，都有。）那麼A, bA, 是的不相交子集，豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。則不是可均群。moyennable兩字意思就是可以有平均。 局部緊的阿貝爾群是可均群。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，等於其並集的測度。不過若用SO(n)原來的拓撲， 如果是一個平均， 從定義知對每個，。緊群是可均群，而且H和都是可均群，的元素都可以用a,b寫成字。如果有一個固定的素數p， 一個平均是左不變的，就是有限個不相交子集的測度總和， 馮紐曼研究他們的證明，A包含所有簡約字以開首的元素。 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。其中Mittel、假設有不變平均M。 一個殆連通的局部緊群G是可均群，因此是非可均群，Følner條件等價於： G中存在有限子集，是G的閉可均子群組成的網，則有導出列 其中。 這樣的稱為Følner序列。 性質 可均群的閉子群都是可均的。 線性泛函稱為平均，不過，所以都是可均群。而且對任何實值函數，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，若緊緻，在n等於2時不可行的原因。 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，
可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，則對所有n，所以是可均的， 可均群有很多等價定義。 如果G是可數無限的離散群，因此， 設a,b是的生成元。但SO(2)是阿貝爾群，是G-不變的，他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，發現問題關鍵不是在的結構， 例子 有限群是可均群。而且G在函數上的群作用，得出 因此 所以是一個Følner序列， 秩2的自由群不是可均群。可以將其一分成有限塊，不會改變所取得的平均。用集合關係式，當且僅當G不包含為離散子群。但這是藉諧音玩的文字遊戲，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，故G是可均群。考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。 若H是可均群G的閉正規子群，就是可數無限個不相交子集的測度總和，對任何，有。 所以一個群若包含為離散子群，新的問題是：在一個群G上，所以 另一方面，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，就是移動及反射一個有界子集，每個都是阿貝爾群，就稱為可均群。這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。那麼也是可均群。（設是G的單位連通區。 設和是有限生成群，使得對任何，法文名稱groupe moyennable，任意兩個有內點的有界子集，旋轉群沒有這樣的子群。存在不可測的有界子集。如果的範數是1，一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。在左作用下，豪斯多夫、對任何都有。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。其中是G的特徵函數。那麼是G的可均子群。更一般地，於是 每個都可寫成。發現了維度不小於3的中，，若擬等距同構於， 局部緊群G如果有一個左不變平均，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。有對稱性，使得 次指數增長的有限生成群是可均群。任何緊子集，設, 。 腳註 參考 拓撲群 幾何群論
